Questão 03 (Valor: 0,4 pontos) – Um imóvel no valor de R$ 500.000,00 foi financiado por um banco em 180 meses. A taxa de juros cobrada neste tipo de financiamento é de 1 % ao mês e a amortização pode ser efetuada tanto pelo SAC - Sistema de Amortização Constante como pelo SAF - Sistema de Amortização Francês. Determinar em que momento os valores das prestações apuradas pelos dois sistemas tornam-se iguais.
Solução:
a) Como vimos na questão 1, no sistema de amortização francês a prestação (P) é fixa. O primeiro passo deve ser o seu cálculo. Cada uma das parcelas (P) deve ser atualizada para a data 0 (data da tomada do empréstimo) e a soma de seus valores atualizados deve igualar o valor financiado (V). Assim, a 1ª parcela, de valor P, deve ser atualizada em um mês, a 2ª parcela em 2 meses e assim sucessivamente até a 180ª parcela que é atualizada em 180 meses. Matematicamente,
P/(1+i) + P/(1+i)2+...+ P/(1+i)m=V
Neste caso, a taxa de juros i=0,01; V=500000 e m=180 é o número total de parcelas. O lado esquerdo corresponde a soma dos primeiros 180 termos de uma PG de razão 1/(1+i) e termo inicial P/(1+i). Como sabemos, a soma dos primeiros m termos de uma PG de razão q e termo inicial a1 vale:
Sm=N/D, onde N = a1. (qm -1) e D = q-1
Substituindo valores, temos:
N = P/(1+i) * (1/(1+i)m-1) =
N = P/(1+0,01) * (1/(1+0,01)180-1) = P * (-0,82496697018879206088086157797566)
D = 1/(1+i) -1 = -0,0099009900990099009900990099009901
Temos, então: Sm = P * 83,321663989067998148967019375542
P = 500000/83,321663989067998148967019375542=6000,8403104575683627930842026838
Como os pagamentos só podem ser realizados até a casa dos centavos, temos P = R$6000,84
b) No sistema de amortização constante, as prestações variam enquanto a amortização é fixa. Assim, a amortização mensal pode ser calculada pela razão entre o valor financiado e o número de prestações mensais. Neste caso,
A = 500000/180 =2777,7777777777777777777777777778
A observação da tabela acima nos permite obter a expressão para os termos gerais. Assim, após n períodos, o valor do saldo devedor é:
Sd(n) = x- n*x/m, onde x é o saldo devedor inicial ou valor financiado.
Da mesma forma, a prestação a ser paga ao final de n períodos é:
P(n) = x/m + i * ( x - (n-1)* x/m) = A + i * (x – (n-1) * A)
Para obter a solução da questão, devemos igualar P(n) com a prestação calculada no caso de aplicação do sistema de amortização francês e determinar n.
6000,84 = 500000/180 + 0,01 * (500000 – (n-1) * 500000/180)
6000,84 = 2777,78 + 0,01 * (500000 – (n-1) * 2777,78)
6000,84 = 2777,78 + 5000 – (n-1) *27,7778
6000,84 – 7777,78 = - (n-1) * 27,7778
1777,78 = (n-1) * 27,7778
1777,78 / 27,7778 = n-1 = 64
Logo n =65.
A prestação de número 65, no caso de aplicação de sistema amortização constante, será igual a prestação fixa, no caso de aplicação de sistema de amortização francês.
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