Certo executivo, pretendendo viajar durante doze meses, resolve fazer seis depósitos mensais em uma financeira, para que sua esposa possa efetuar doze retiradas mensais de R$ 20.000,00 durante o período de sua viagem. A primeira retirada ocorrerá um mês após o último depósito. Se a financeira paga 3 % ao mês, de quanto devem ser os depósitos?
Solução:
Colocamos a data focal na primeira retirada. Assim,
O total de depósitos (D ) na data focal vale:
D = X (1+i)6 + X (1+i)5 + X (1+i)4 + X (1+i)3 + X (1+i)2 + X (1+i)1
O total de retiradas (R ) na data focal vale:
R = 20000 (1+i)11 + 20000 (1+i)10 + ... + 20000/ (1+i)1 +20000/ (1+i)0
Podemos notar que os depósitos formam uma PG de razão (1+i), cujo primeiro termo é a1= X (1+i)1 e é composta por n= 6 termos. A soma (D) é dada por:
D = ( a1 * (qn-1)) / (q-1)
Substituindo os valores, temos:
D = X * 6,6625
Podemos notar que as retiradas também formam uma PG. Neste caso, contudo, a razão é q = 1/(1+i), cujo primeiro termo é a1= 20000 e é composta por n= 12 termos. A soma (D) é dada por:
R = ( a1 * (qn-1)) / (q-1)
Substituindo os valores, temos:
R = 205052,48
Como os valores das retiradas devem igualar os valores dos depósitos na data focal, temos:
D = X * 6,6625 = R = 205052,48
Logo, X = R$ 30777,11 é o valor de cada depósito que o executivo fará.
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